如圖,直角梯形中,
,
,
,
,
,過
作
,垂足為
.
、
分別是
、
的中點(diǎn).現(xiàn)將
沿
折起,使二面角
的平面角為
.
(1)求證:平面平面
;
(2)求直線與面
所成角的正弦值.
(1)詳見解析;(2)求直線與面
所成角的正弦值為
.
解析試題分析:(1)利用折疊前以及
、
在同一平面內(nèi),得到在折疊后
,由已知條件
,結(jié)合直線與平面垂直的判定定理可以證明
平面
,最終利用平面與平面垂直的判定定理即可證明平面
平面
;(2)解法一是利用空間向量法,即以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),
、
分別為
軸、
軸建立空間坐標(biāo)系,將二面角
為
進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,再利用空間向量法求出直線
與面
所成角的正弦值;解法二是利用到(1)中的結(jié)論
平面
,只需作
交
于點(diǎn)
,于是確定直線
與面
所成角為
,借助點(diǎn)
為
的中點(diǎn)從而得到
為中位線,于是確定點(diǎn)
為
的中點(diǎn),連接
,在直角三角形
中計(jì)算出
.
試題解析:(1)證明:DE
AE,CE
AE,
,
AE
平面
, 3分
AE
平面
,
平面
平面
. 5分
(2)(方法一)以E為原點(diǎn),EA、EC分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系 6分
DE
AE,CE
AE,
是二面角
的平面角,即
=
, 7分
,
,
,
A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,
,1). 9分
、
分別是
、
的中點(diǎn),
F
,G
10分
=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐E—ABCD中,底面ABCD為邊長為5的正方形,AE平面CDE,AE=3.
(1)若為
的中點(diǎn),求證:
平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)證明:AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,四棱錐中,底面
是個(gè)邊長為
的正方形,側(cè)棱
底面
,且
,
是
的中點(diǎn).
(I)證明:平面
;
(II)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=,AD=1.
(I)求證:CD⊥平面PAC;
(II)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點(diǎn)E的位置,并證明,若不存在,請說明理由.
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