【題目】=在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2(tanA+tanB)= + .
(Ⅰ)證明:a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:由 得:
;
∴兩邊同乘以cosAcosB得,2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB;
∴2sin(A+B)=sinA+sinB;
即sinA+sinB=2sinC(1);
根據(jù)正弦定理, ;
∴ ,帶入(1)得: ;
∴a+b=2c;
(Ⅱ)a+b=2c;
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=4c2;
∴a2+b2=4c2﹣2ab,且4c2≥4ab,當且僅當a=b時取等號;
又a,b>0;
∴ ;
∴由余弦定理, = ;
∴cosC的最小值為
【解析】(Ⅰ)由切化弦公式 ,帶入 并整理可得2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+cosB,這樣根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC,從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c;(Ⅱ)根據(jù)a+b=2c,兩邊平方便可得出a2+b2+2ab=4c2,從而得出a2+b2=4c2﹣2ab,并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab,也就得到了 ,這樣由余弦定理便可得出 ,從而得出cosC的范圍,進而便可得出cosC的最小值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識,掌握正弦定理:,以及對余弦定理的定義的理解,了解余弦定理:;;.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的焦點和上頂點分別為F1、F2、B,定義:△F1BF2為橢圓C的“特征三角形”,如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形,那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比,已知點 是橢圓 的一個焦點,且C1上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4.
(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且C2與C1的相似比為2:1,求橢圓C2的方程;
(2)已知點P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任意一點,若點Q是直線y=nx與拋物線 異于原點的交點,證明:點Q一定在雙曲線4x2﹣4y2=1上;
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb , 是否存在正方形ABCD,(設(shè)其面積為S),使得A、C在直線l上,B、D在曲線Cb上?若存在,求出函數(shù)S=f(b)的解析式及定義域;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過點A(﹣2,0)的直線與x=2相交于點C,過點B(2,0)的直線與x=﹣2相交于點D,若直線CD與圓x2+y2=4相切,則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 過點(0,﹣2),F(xiàn)1 , F2分別是其左、右焦點,O為坐標原點,點P是橢圓上一點,PF1⊥x軸,且△OPF1的面積為 ,
(1)求橢圓E的離心率和方程;
(2)設(shè)A,B是橢圓上兩動點,若直線AB的斜率為 ,求△OAB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,且離心率
(1)求橢圓的標準方程
(2)是否存在過點的直線交橢圓與不同的兩點,且滿足 (其中為坐標原點)。若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊”得3分;如果只有一個人猜對,則“星隊”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是 ,乙每輪猜對的概率是 ;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動,求:
(I)“星隊”至少猜對3個成語的概率;
(II)“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F,且EF=,則下列結(jié)論中正確的序號是_____.
①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF的面積與△BEF的面積相等.④三棱錐A﹣BEF的體積為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB= .
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
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