矩形ABCD與矩形ABEF的公共邊為AB，且平面ABCD平面ABEF，如圖所示，F(xiàn)D， AD=1， EF=．

   （Ⅰ）證明：AE 平面FCB；

   （Ⅱ）求異面直線BD與AE所成角的余弦值

   （Ⅲ）若M是棱AB的中點(diǎn)，在線段FD上是否存在一點(diǎn)N，使得MN∥平面FCB？

證明你的結(jié)論．

（Ⅰ）見(jiàn)解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）見(jiàn)解析


解析:

 (1) 平面ABCD平面ABEF,

且四邊形ABCD與ABEF是矩形,

AD平面ABEF,ADAE,

BC∥AD BCAE

又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,

所以四邊形ABEF為正方形.AEFB,

又BFBF平面BCF，BC平面BCF

所以AE平面BCF……………………………………………4分

(2)設(shè)BFAE=O,取FD的中點(diǎn)為H,連接OH,在 OH//BD,

HOF即為異面直線BD與AE所成的角(或補(bǔ)角),

在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=

異面直線BD與AE所成的角的余弦值為………………………….8分

(3)當(dāng)N為FD的中點(diǎn)時(shí), MN∥平面FCB

證明：取CD的中點(diǎn)G,連結(jié)NG，MG，MN，

則NG//FC,MG//BC,

又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G

所以平面NGM//平面FBC,

MN平面NGM

MN//平面FBC……………………………………………………………12分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．點(diǎn)A1，A2分別為C0的左，右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓C2：x2+y2=
t
2
2
與C0相交A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：
t
2
1
+
t
2
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•遼寧）如圖，已知橢圓C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．點(diǎn)A1，A2分別為C0的左右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（I）求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）設(shè)動(dòng)圓C2：x2+y2=
t
2
2
與C0相交于A'，B'，C'，D'四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：
t
2
1
+
t
2
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖,矩形ABCD與矩形AB′C′D全等,且所在平面所成的二面角為α,記兩個(gè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)分別為Q,Q′,AB=a,AD=b.

(1)求證:QQ′∥平面ABB′;

(2)當(dāng)b=2a,且α=時(shí),求異面直線AC與DB′所成的角;

(3)當(dāng)a＞b,且AC⊥DB′時(shí),求二面角α的余弦值(用a,b表示).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省珠海一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓，b＜t1＜a．點(diǎn)A1，A2分別為C的左，右頂點(diǎn)，C1與C相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓與C相交A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：，動(dòng)圓C1：．點(diǎn)A1，A2分別為C的左右頂點(diǎn)，C1與C相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（I）求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）設(shè)動(dòng)圓C2：與C0相交于A'，B'，C'，D'四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：為定值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案