已知點(diǎn),動點(diǎn)的軌跡曲線滿足,過點(diǎn)的直線交曲線、兩點(diǎn).
(1)求的值,并寫出曲線的方程;
(2)求△面積的最大值.
(1)
(2)△面積的最大值為3,此時(shí)直線的方程為

試題分析:解:(1)設(shè),在△中,,,根據(jù)余弦定理得.                (2分)
.
.
,所以
所以.                       (4分)                     
,
因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓(點(diǎn)軸上也符合題意),
,.
所以曲線的方程為.                                 (6分)
(2)設(shè)直線的方程為.
,消去x并整理得.    ①
顯然方程①的,設(shè),,則
由韋達(dá)定理得.                 (9分)
所以.
,則,.
由于函數(shù)上是增函數(shù).
所以,當(dāng),即時(shí)取等號.
所以,即的最大值為3.
所以△面積的最大值為3,此時(shí)直線的方程為.           (12分)
點(diǎn)評:解決的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程,同時(shí)結(jié)合直線與橢圓方程來聯(lián)立方程組來求解最值,屬于基礎(chǔ)題。
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