在平面直角坐標系xoy中，已知點A（0，1），B點在直線y=-1上，M點滿
MB
∥
OA
，
MA
•
AB
=
MB
•
BA
，M點的軌跡曲線C
（1）求曲線C的方程；
（2）斜率為1的直線l過原點O，求l被曲線C截得的弦長．
考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)M（x，y），由已知可得：B（x，-1），A（0，1），
MA
=（-x，1-y），
MB
=（0，-1-y），
AB
=（x，-2），利用
MA
•
AB
=
MB
•
BA
，即可得出．
（2）設(shè)直線與曲線C相交于點E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），直線l的方程為y=x．與曲線C的方程聯(lián)立即可得出．
解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由已知可得：B（x，-1），A（0，1），
MA
=（-x，1-y），
MB
=（0，-1-y），
AB
=（x，-2），
∵
MA
•
AB
=
MB
•
BA
，∴（
MA
+
MB
）•
AB
=0，
∴（-x，-2y）•（x，-2）=0，化為-x2+4y=0，
∴y=
1
4
x2．
（2）設(shè)直線與曲線C相交于點E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）．
直線l的方程為y=x代入y=
1
4
x2，解得
x=0
y=0
或
x=4
y=4
．
∴|EF|=4
2
．
點評：本題考查了直線與圓相交弦長問題、向量的坐標運算與數(shù)量積運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且有a1=2，3Sn=5an-4an-1+3Sn-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=（3n+2）an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式組
-2≤2x-y≤2
-2≤2x+y≤2
圍成的區(qū)域為Ω，能夠把區(qū)域Ω的周長和面積同時分為相等兩部分的曲線為（　�。�
A、y=x3-3x+1
B、y=xsin2x
C、y=ln
2-x
2+x
D、y=
1
4
（ex+e-x）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若球的表面積為4π，則球的體積為（　�。�
A、
1
3
π
B、
4
3
π
C、
8
3
π
D、
32
3
π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對任意實數(shù)k，直線kx-y-3k+4=0與圓C：（x-3）2+（y-4）2=16的位置關(guān)系是（　　）
A、相交B、相切
C、相離D、與k取值有關(guān)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的部分圖象，如圖所示，則φ=（　�。�
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
2π
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知4名男生、4名女生排成一排，求：
（1）男女相間有多少種排法？
（2）女生在一起有多少種排法？
（3）男生甲、乙不相鄰有多少種排法？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)P是不等式組
y≥0
x-2y≥-1
x+y≤3
表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，向量
m
=（1，1），
n
=（2，1），若
OP
=λ
m
+μ
n
（λ、μ∈R），則μ的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2|
b
|=1，＜
a
，
b
＞=60°，向量2t
a
+7
b
與
a
+t
b
夾角為鈍角，求t范圍．

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