Question

16．已知m≠0，向量$\overrightarrow a$=（m，3m），向量$\overrightarrow b$=（m+1，6），集合A={x|（x-m²）（x+m-2）=0}．
（1）判斷“$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$”是“|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{10}$”的什么條件
（2）設命題p：若$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，則m=-19，命題q：若集合A的子集個數為2，則m=1，判斷p∨q，p∧q，￢q的真假，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，則6m=3m（m+1解出m即可判斷出結論．
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，則m（m+1）+18m=0，解出m，即可判斷出p真假．由（x-m²）（x+m-2）=0得x=m²，或x=2-m，若集合A的子集個數為2，則集合A中只有1個元素，
則m²=2-m，解得m，即可判斷出真假．

解答 解：（1）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，則6m=3m（m+1），∴m=1（m=0舍去），此時，$\overrightarrow a=（{1，3}），|{\overrightarrow a}|=\sqrt{10}$，
若$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{10}$，則m=±1，故“$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$”是“$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{10}$”的充分不必要條件．
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，則m（m+1）+18m=0，∴m=-19（m=0舍去），∴p為真命題．
由（x-m²）（x+m-2）=0得x=m²，或x=2-m，若集合A的子集個數為2，則集合A中只有1個元素，
則m²=2-m，解得m=1或-2，∴q為假命題．
∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，￢q為真命題．

點評 本題考查了向量共線定理、向量垂直與數量積的關系、集合的運算性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．