精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】設函數,其中x>0,k為常數,e為自然對數的底數.

(1)當k≤0時,求的單調區(qū)間;

(2)若函數在區(qū)間(1,3)上存在兩個極值點,求實數k的取值范圍;

(3)證明:對任意給定的實數k,存在(),使得在區(qū)間()上單調遞增.

【答案】(1)單調遞減區(qū)間為(0,3),單調遞增區(qū)間為;(2);(3)證明見解析。

【解析】

(1)f′(x)=分別令f′(x)>0,f′(x)<0,解出x的取值范圍即可

(2)函數f(x)在(1,3)內存在兩個極值點,有兩個實數根.化為,,因此內存在兩個實數根.利用導數研究其單調性極值即可;

(3),得,上單調遞增,進而分析可得結果.

,

(1)當時,對任意的都成立.

所以,當時,;當時,,

所以,的單調遞減區(qū)間為(0,3),單調遞增區(qū)間為.

(2)由函數在區(qū)間(1,3)上存在兩個極值點,得在區(qū)間(1,3)上至少有兩個解,即在區(qū)間(1,3)至少有兩個解.

,,則

所以,當時,;當,所以在區(qū)間(1,2)上單調遞減,在區(qū)間(2,3)上單調遞增.又,,

所以,,且,即.

此時,存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得

且當x∈(1,x1)時,,當x∈(x1,x2)時,,當x∈(x2,,3),,滿足條件.

所以k的取值范圍為

(3)令,得,當時,,當且僅當時等號成立,

所以,上單調遞增,

所以,當時,,及,

時,.

為3和中較大的數,則當時,,

所以對任意給定的實數,存在,式得在區(qū)間上單調遞增.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】《九章算術》卷五《商功》中有如下敘述今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈“芻甍”指的是底面為矩形的對稱型屋脊狀的幾何體,“下廣三丈”是指底面矩形寬三丈,“袤四丈”是指底面矩形長四丈,“上袤二丈”是指脊長二丈,“無寬”是指脊無寬度,“高一丈”是指幾何體的高為一丈現有一個芻甍如圖所示,下廣三丈,袤四丈,上袤三丈,無廣,高二丈,則該芻甍的外接球的表面積為_______________平方丈

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數 的一段圖像如圖所示.

(1)求此函數的解析式;

(2)求此函數在上的單調遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】(本小題滿分12分)

如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3BC=4,AB=5,AA1=4,DAB

中點.

(1) 求證: AC⊥BC1

(2) 求證:AC1平面CDB1

(3) 求異面直線AC1B1C所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(管道構成Rt△FHE,H是直角項點)來處理污水.管道越長,污水凈化效果越好.設計要求管道的接口H是AB的中點,E,F分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米,AD=米,記∠BHE=

(1)試將污水凈化管道的長度L表示為的函數,并寫出定義域;

(2)當取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度L.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,、分別為橢圓的左、右焦點.設不經過焦點的直線與橢圓交于兩個不同的點、,焦點到直線的距離為.若直線、、的斜率依次成等差數列,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈( )

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】下列命題不正確的是( 。

A.研究兩個變量相關關系時,相關系數r為負數,說明兩個變量線性負相關

B.研究兩個變量相關關系時,相關指數R2越大,說明回歸方程擬合效果越好.

C.命題xR,cosx≤1”的否定命題為x0Rcosx01”

D.實數a,b,ab成立的一個充分不必要條件是a3b3

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知點P和非零實數,若兩條不同的直線 均過點P,且斜率之積為,則稱直線是一組“共軛線對”,如直 是一組“共軛線對”,其中O是坐標原點.

(1)已知是一組“共軛線對”,求的夾角的最小值;

(2)已知點A(0,1)、點和點C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點(A,B,CP,Q,R均不重合),且直線PR,PQ是“ 共軛線對”,直線QP,QR是“共軛線對”,直線RP,RQ是“共軛線對”,求點P的坐標;

(3)已知點 ,直線是“共軛線對”,當的斜率變化時,求原點O到直線的距離之積的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案