Question

設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且x1＜x2．

（1）求的取值范圍；

（2）證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；

（3）設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記，求

的值．

 

Answer 1

（1）;（2）詳見(jiàn)解析;（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意圖象與軸交于，兩點(diǎn)，由零點(diǎn)的定義可得：函數(shù)的圖象要與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此函數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)要對(duì)它進(jìn)行求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求函數(shù)的性質(zhì)，即：，a的正負(fù)就決定著導(dǎo)數(shù)的取值情況，故要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論：分和兩種情況，其中顯然不成立，時(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于零，即可求出a的范圍; （2）由圖象與軸交于，兩點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)的定義可得：整理可得：，觀察其結(jié)構(gòu)特征，可想到整體思想，即：，目標(biāo)為：，運(yùn)用整體代入化簡(jiǎn)可得：，轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)不難得到，即：，故而是單調(diào)增函數(shù)，由不等式知：，問(wèn)題可得證; （3）由題意有，化簡(jiǎn)得，而在等腰三角形ABC中，顯然只有C = 90°，這樣可得，即，結(jié)合直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，所以，即，運(yùn)用代數(shù)式知識(shí)處理可得： ，而，所以，即，所求得

試題解析：（1）．

若，則，則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾． 2分

所以，令，則．

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)；時(shí)，，是單調(diào)增函數(shù)；

于是當(dāng)時(shí)，取得極小值． 4分

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，(x1＜x2)，

所以，即

此時(shí)，存在；

存在，

又由在及上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍. 6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719075126617983/SYS201411171907596727771781_DA/SYS201411171907596727771781_DA.009.png"> 兩式相減得

記，則， 8分

設(shè)，則，所以是單調(diào)減函數(shù)，

則有，而，所以．

又是單調(diào)增函數(shù)，且

所以． 11分

（3）依題意有，則．

于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°， 13分

所以，即，

由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，

所以，即，

所以，

即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719075126617983/SYS201411171907596727771781_DA/SYS201411171907596727771781_DA.059.png">，則，

又，所以， 15分

即，所以 16分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的圖象性質(zhì);2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用;3.函數(shù)與不等式的綜全運(yùn)用