Question

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A(-1，0)、B(1，0)，且．

(1)求點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(2)是否存在直線z，使Z過點(diǎn)(0，1)并與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足OP⊥OQ?若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：(1)設(shè)C(x，y)，則G()，其中x·y≠0．

設(shè)外心M(0，m)，而GM∥AB，

即()∥(2，0)，則m=．

由|MA|=|MC|，得

，

整理得軌跡E的方程是3x²+y²=3(xy≠0)．

(2)假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)條件，由題設(shè)知l的方程

為y=kx+1，代入3x²+y²=3，

化簡得(k²+3)x²+2kx-2=0，

則△=4k²+8(k²+3)＞0．

設(shè)P(x₁，kx₁+1)，Q(x₂，kx₂+1)

∴x₁+x₂=                                                              ①

x₁x₂=                                                                 ②

由OP⊥OQ，即=0，得

(kx₁+1)(kx₂+1)+x₁x₂=0

即(k²+1)x₁x₂+k(x₁+x₂)+1=0．

結(jié)合①②得3k²=1，則k=±，

故存在直線l：y=±x+1，使得OP⊥OQ．