Question

【題目】已知橢圓E：x2+3y2=m2（m＞0）的左頂點是A，左焦點為F，上頂點為B．
（1）當△AFB的面積為 時，求m的值；
（2）若直線l交橢圓E于M，N兩點（不同于A），以線段MN為直徑的圓過A點，試探究直線l是否過定點，若存在定點，求出這個定點的坐標，若不存在定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓方程： ，則a=m，b= ，c= ，

由三角形AFB的面積S，S= b×（b﹣c）= ，

則 （m﹣ ） ﹣ ，解得：m= ，

∴m的值為

（2）解：由線段MN過直徑的圓過A點，則MA⊥NA，

設直線AM的斜率為k（k＞0），則直線AN的斜率為﹣ ，AM為y=k（x+m），

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ，

整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k2﹣1）m2=0，

則x1（﹣m）= ，則x1= ，故y1=k（x1+m）= ，

則M（ ， ），

直線AN的方程為y=﹣ （x+m），同理可得：N（ ，﹣ ），

當l的斜率不存在時，顯然可得k=1，此時M（﹣ ， ），N（﹣ ，﹣ ），

則圓心為P（﹣ ，0），

由直線l總穿過x軸，證明當l的斜率存在時，也過點P（﹣ ，0），

當l的斜率存在時，kPM= = =kPN（k＞0，k≠1），

綜上可知：l過定點（﹣ ，0）

【解析】（1）將橢圓方程轉(zhuǎn)化成標準方程，則三角形AFB的面積S= b×（b﹣c），代入即可求得m的值；（2）設直線AM的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得M和N的方程，當l的斜率不存在時，顯然可得k=1，求得圓心為P（﹣ ，0），當l的斜率存在時，由利用兩點的斜率公式求得kPM=kPN ， 直線l是否過定點．