Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（，），一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，-）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A₁、A₂，點(diǎn)P在直線y=a²上，直線PA₁、PA₂分別與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．試問：當(dāng)點(diǎn)P在直線y=a²上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN是否恒經(jīng)過定點(diǎn)Q？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）假設(shè)橢圓方程，利用點(diǎn)（，）在橢圓上，即可確定橢圓方程；
（II）先確定直線MN恒經(jīng)過定點(diǎn)Q（0，1），再證明：當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，直線MN即y軸，通過點(diǎn)Q（0，1）；當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，確定直線PA₁，PA₂與橢圓方程聯(lián)立，確定交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得斜率，由此可得結(jié)論．
解答：解：（I）一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，-），故c=，可設(shè)橢圓方程為      …（2分）
∵點(diǎn)（，）在橢圓上，∴
∴b²=1，（舍去）
∴橢圓方程為                      …（4分）
（II）直線MN恒經(jīng)過定點(diǎn)Q（0，1），證明如下：
當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，直線MN即y軸，通過點(diǎn)Q（0，1），…（6分）
當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，設(shè)P（t，4），A₁（0，2）、A₂（0，-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線PA₁方程y=，PA₂方程y=，
y=代入得（1+t²）x²+2tx=0，
得x₁=-，y₁=，∴，…（8分）
y=代入得（9+t²）x²-6tx=0
得x₂=，y₂=，∴，…（10分）
∴k_QM=k_QN，∴直線MN恒經(jīng)過定點(diǎn)Q（0，1）．        …（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線恒過定點(diǎn)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程確定交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．