Question

（2012•武漢模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax在x=-

1

2

處的切線的斜率為1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）．求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax在x=-

1

2

處的切線的斜率為1，可求a的值，再確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，即ln（1+x）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立．令x=

1

k

（k∈N^*），從而可得

1

k

＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n），將上述n個不等式依次相加，即可證得結(jié)論；
法（二）：先證明當(dāng)n=1時，不等式成立；再假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，結(jié)合x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）及x=

1

k+1

，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）先確定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）_max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，從而可求實數(shù)b的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）．
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=

1

1+x

-a．
由已知，∵函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax在x=-

1

2

處的切線的斜率為1
∴f′（-

1

2

）=1，即

1

1+(- 1 2 )

-a=1，∴a=1．
此時f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x=0時，f（x）取得極大值，該極大值即為最大值，
∴f（x）_max=f（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）證明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，
即ln（1+x）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立．
令x=

1

k

（k∈N^*），則

1

k

＞ln（1+

1

k

），即

1

k

＞ln

k+1

k

，
∴

1

k

＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n）．
將上述n個不等式依次相加，得
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．…（10分）
法（二）：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)n=1時，左邊=1=lne，右邊=ln2，∴左邊＞右邊，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞ln（k+1）．
那么1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln（k+1）+

1

k+1

，
由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）．
令x=

1

k+1

，則

1

k+1

＞ln（1+

1

k+1

）=ln

k+2

k+1

，
∴l(xiāng)n（k+1）+

1

k+1

＞ln（k+1）+ln

k+2

k+1

=ln（k+2），
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln（k+2）．
即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．…（10分）
根據(jù)（1）（2），可知不等式對任意n∈N^*都成立．
（Ⅲ）解：∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，則b≥0．
由（Ⅰ），知f（x）_max=f（0）=0．
（1）當(dāng)b=0時，g（x）=0，此時f（x）≤g（x）恒成立；
（2）當(dāng)b＞0時，g′（x）=b（e^x-1），
當(dāng)x∈（-1，0）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
∴g（x）在x=0處取得極小值，即為最小值，
∴g（x）_min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．
綜合（1）（2）可知，實數(shù)b的取值范圍為[0，+∞）．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，確定函數(shù)的最值，綜合性強．