已知函數(shù) ,其中(1)若,求的極小值;(2)在(1)條件下證明;(3)是否存在實數(shù),使的最小值為3,如果存在,求出實數(shù)的值,若不存在,說明理由.
(Ⅰ) f(x)的極小值為f(1)=1  (Ⅱ) 略 (Ⅲ)a=e2
:(1)∵f(x)=ax-lnxf(x)="1-" = ,∴當(dāng)0<x<1時,f(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)1<xe時,f(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增。3分∴ f(x)的極小值為f(1)=1.4分
(2)∵f(x)的極小值為1,即f(x)在(0,e)上的最小值為1,∴f(x)>0,f(x)min=1.……6分
h(x) = g(x)+ = + ,h′(x)=
當(dāng)時,h′(x)>0,h(x)在上單調(diào)遞增,
h(x) h(e)= +<+=1,…9分∴在(1)的條件下,f(x)>g(x)+.…10分
(3)假設(shè)存在實數(shù)a,使f(x) =ax-lnx ,x∈[0, e]有最小值3,f′(x)=a - = ,
①當(dāng)0<<e時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(, e]上單調(diào)遞增.
f(x)min= f()=1+lna=3,a=e2,滿足條件.……13分
②當(dāng)≥e時,f(x)在單調(diào)遞減,f(x)min= f(e)=ae-1=3,a=(舍去),
所以,此時f(x)無最小值.…15分
綜上,存在實數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0, e]時f(x)有最小值為3.…16分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:lnx<

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)若,證明:。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)  設(shè)R,函數(shù).(1) 若函數(shù)在點處的切線方程為,求a的值;(2) 當(dāng)a<1時,討論函數(shù)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù),且2是方程的根,則(    )
A.B.C.D.

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(本小題滿分12分)已知函數(shù),的最小值恰好是方程的三個根,其中(1)求證:;(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點.若,求函數(shù)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式的解集為(0,+)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知,則的值為(      )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

的導(dǎo)數(shù)是(      )
A.B.C.D.

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