Question

設(shè)函數(shù)。
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）斜率為的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，求證：。

Answer 1

（1）．（2）當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

試題分析：（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．
∵當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，
f'（x）＞0，
∴當(dāng)時(shí)，．                 4分
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．    8分
（3）．
要證，即證，等價(jià)于證，令，
則只要證，由t＞1知lnt＞0，
故等價(jià)于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①設(shè)g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，
故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②設(shè)h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得證．                 12分
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)本身是個(gè)解決問(wèn)題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實(shí)際問(wèn)題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請(qǐng)注意歸納常規(guī)方法和常見注意點(diǎn)