Question

13．在△ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E作一條直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，（x＞0，y＞0，則4x+y的最小值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的加法及條件，結(jié)合M，E，N三點(diǎn)共線，解出x，y的方程，然后利用“1”的代換，化簡4x+y，利用基本不等式，求表達(dá)式的最小值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），且E為AD的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∵$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，（x＞0，y＞0），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{x}$$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{y}$$\overrightarrow{AN}$，
∵M(jìn)，E，N三點(diǎn)共線，
∴$\frac{1}{4x}$+$\frac{1}{4y}$=1，
∴4x+y=（4x+y）（$\frac{1}{4x}$+$\frac{1}{4y}$）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{y}{4x}$+$\frac{x}{y}$≥1+$\frac{1}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$

點(diǎn)評 考查向量的加法運(yùn)算，共線及共面向量基本定理，基本不等式這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)．求解本題的另一個(gè)關(guān)鍵基本不等式求解表達(dá)式的最小值．