Question

（本題滿分15分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其離心率為，經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸分別相交于兩點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）沒有符合題意的常數(shù)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知橢圓C的離心率為可得，，即橢圓的方程為；

又因?yàn)槠鋱D像過點(diǎn)，將其坐標(biāo)直接代入即可計(jì)算出參數(shù)，即可寫出橢圓的方程；（Ⅱ）首先寫

出直線的方程，然后聯(lián)立直線和橢圓方程并將直線的方程代入橢圓方程整理得

，由題意知，，即可解出的取值范圍；（Ⅲ）假設(shè)

存在常數(shù)，使得向量與共線，則設(shè)，則，

由（Ⅱ）知， 可用含的式子表示出來，然后根據(jù)假設(shè)可得等式關(guān)系，

即可解出的值，最后驗(yàn)證的值是否滿足（Ⅱ）中解出的的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C的離心率，

，將點(diǎn)代入，得，

所求橢圓方程為．

（Ⅱ）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得．

整理得 ①

直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)和等價于，

解得或．即的取值范圍為.

（Ⅲ）設(shè)，則，

由方程①， ②

又 ③

而，．

所以與共線等價于，

將②③代入上式，解得．

由（1）知或，故沒有符合題意的常數(shù)．

考點(diǎn)：橢圓的綜合應(yīng)用；向量的共線.