Question

如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．
（1）將十字形的面積表示為θ的函數(shù)；
（2）十字形的最大面積是多少？并求出十字形取得最大值時，tanθ的值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）設(shè)S為十字形的面積，根據(jù)圖形能夠得到其表達(dá)式為S=2xy-x²，再由圓的參數(shù)方程知x=cosθ，y=sinθ，故S=2sinθcosθ-cos²θ（

π

4

＜θ＜

π

2

）．
（2）由S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-

1

2

cos2θ-

1

2

=

5

2

sin（2θ-φ）-

1

2

可以求出θ為何值時，十字形的面積最大和最大面積是多少．

解答： 解：（1）設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos²θ（

π

4

＜θ＜

π

2

）．（4分）
（2）S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-

1

2

cos2θ-

1

2

=

5

2

sin（2θ-φ）-

1

2

，
其中φ=arccos

2 5

5

．（8分）
當(dāng)sin（2θ-φ）=1，即2θ-φ=

π

2

時，S最大為

5 -1

2

．（10分）
tan2θ=tan（

π

2

+φ）=-

cosφ

sinφ

=-2，∴tanθ=

1+ 5

2

．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的應(yīng)用，考查三角函數(shù)知識，正確化簡是關(guān)鍵，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．