【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下(提示:可以用第(2)問的結(jié)論),任意的,證明:.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析 .
【解析】
(1)確定函數(shù)的定義域,求,對分類討論確定區(qū)間上的根的情況,從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上恒成立,則只需函數(shù)即可,故根據(jù)第(1)問中函數(shù)的單調(diào)性,可確定當(dāng)時函數(shù)有最大值,利用導(dǎo)數(shù)法可判斷,進而可得,從而可求得的范圍;
(3)可化為,結(jié)合由(2)得,時,,而,故可得,又,進而可證得結(jié)果.
(1)函數(shù)的定義域為,.
①當(dāng)時,在上單調(diào)增
②當(dāng)時,,所以在上單調(diào)增;
③當(dāng)時,
令得,,所以在上單調(diào)遞增;
令得,,所以在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,當(dāng)時,在上單調(diào)增,且,
所以在上不恒成立;
當(dāng)時,由(1)知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,故只需即可,
令,,
所以當(dāng)時,;當(dāng),,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,即,又,
所以,解得
綜上,的取值范圍是.
(3)注意:用第(2)題的結(jié)論:時,.
,
因為,所以,由(2)得,時,
令,則,因為,所以,即,
因為,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)研究函數(shù)f(x)在(0,π)上的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)g(x)=x2+πcosx的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( 。
A.年接待游客量逐年增加
B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C.2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30萬人
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某市高中某學(xué)科競賽中,某一個區(qū)4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示.
(1)求這4000名考生的競賽平均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表);
(2)記70分以上為優(yōu)秀,70分及以下為合格,結(jié)合頻率分布直方圖完成下表,并判斷是否有99%的把握認為該學(xué)科競賽成績與性別有關(guān)?
合格 | 優(yōu)秀 | 合計 | |
男生 | 720 |
|
|
女生 |
| 1020 |
|
合計 |
|
| 4000 |
附:
p(k2≥k0) | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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【題目】某省新高考將實行“”模式,“3”為全國統(tǒng)考科目語文數(shù)學(xué)外語,所有學(xué)生必考;“1”為首選科目,考生須在物理歷史兩科中選擇一科;“2”為再選科目,考生可在化學(xué)生物思想政治地理4個科目中選擇兩科.某考生已經(jīng)確定“首選科目”為物理,如果他從“再選科目”中隨機選擇兩科,則思想政治被選中的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列,,的前項和分別為,,,且對任意的都有,已知,數(shù)列和是公差不為0的等差數(shù)列,且各項均為非負整數(shù).
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列的前4項刪去1項后按原來順序成等比數(shù)列,求所有滿足條件的數(shù)列;
(3)若,且,,求數(shù)列,的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)為棱的中點,當(dāng)四面體的體積取得最大值時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.
(1)求證:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D在B1C1上,滿足B1D=2DC1,求AD與平面A1BC1所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,其中,函數(shù)與關(guān)于直線對稱.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求a的取值范圍;
(2)證明:;
(3)設(shè),其中恒成立,求滿足條件的最小正整數(shù)b的值.
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