【題目】已知a1= (n∈N*)
(1)求a2 , a3 , a4并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
【答案】
(1)解:因?yàn)閍1= (n∈N*)
所以 , ,
由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 (n∈N*)
(2)解:下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
① 當(dāng)n=1時(shí), = ,猜想成立
②假設(shè)當(dāng)n=k (k∈N*,k≥1)時(shí),猜想成立,即
那么ak+1= = .
即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立;
綜合①②可知,對n∈N*猜想都成立,即 (n∈N*)
【解析】(1)由a1= (n∈N*),分別令n=2,3,4,即可得出;(2)由(1)猜想: (n∈N*)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).某市環(huán)保局從市區(qū)2017年上半年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉)
(1)從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天,求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率;
(2)從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù),記表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù),求的分布列;
(3)以這15天的PM2.5的日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況,(一年按360天來計(jì)算),則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
參考公式: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng),據(jù)監(jiān)測,當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向的海面P處,且,并以的速度向西偏北方向移動(dòng),臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為,并以的速度不斷增大,問幾小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)求證:f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的值滿足f(x)<0,對任意實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(﹣1)=1,f(27)=9,當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)∈(0,1).
(1)求f(1)的值,判斷f(x)的奇偶性并證明;
(2)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤ ,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為, , .等 差數(shù)列中, ,且公差.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得?.若存在,求出的最小值;若 不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱錐A-BOC中,OA⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=,動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上.
(1)求證:平面COD⊥平面AOB;
(2)當(dāng)OD⊥AB時(shí),求三棱錐C-OBD的體積.
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