Question

重慶Z中學(xué)為籌備參加“漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽”，對(duì)初二年級(jí)的400名同學(xué)進(jìn)行了一次模擬聽(tīng)寫(xiě)比賽．每位同學(xué)聽(tīng)寫(xiě)150個(gè)字，聽(tīng)寫(xiě)正確130個(gè)字以上（含130個(gè)）的同學(xué)才可以參加市級(jí)決賽．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該年級(jí)同學(xué)在摸底聽(tīng)寫(xiě)比賽中聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，該�？梢詤⒓邮屑�(jí)決賽的同學(xué)有多少人？假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估算這400名同學(xué)平均聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)；
（Ⅱ）重慶Z中學(xué)在可以參加市級(jí)決賽的同學(xué)中派1人參加市級(jí)決賽，按決賽規(guī)定：每人最多有5次聽(tīng)寫(xiě)機(jī)會(huì)，累計(jì)聽(tīng)寫(xiě)正確3個(gè)字或聽(tīng)寫(xiě)錯(cuò)誤3個(gè)字即終止．設(shè)參加決賽的這名同學(xué)每個(gè)字聽(tīng)寫(xiě)正確的概率相同，且相互獨(dú)立，若該同學(xué)連續(xù)兩次聽(tīng)寫(xiě)錯(cuò)誤的概率是

1

9

，求該同學(xué)在決賽中聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出可以參加市級(jí)比賽的人數(shù)和這400人平均聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)．
（Ⅱ）設(shè)該同學(xué)每次聽(tīng)寫(xiě)正確的概率為p，則連續(xù)兩次錯(cuò)誤的概率為(1-p)2=

1

9

，解得p=

2

3

，他在最多五次聽(tīng)寫(xiě)機(jī)會(huì)中聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，X的可能取值為：0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿(mǎn)分13分）
解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，
聽(tīng)寫(xiě)正確130個(gè)字以上（含130個(gè)）的人數(shù)為：0.0025×20×400=20人，
∴可以參加市級(jí)比賽的人數(shù)為20．
這400人平均聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)為：
（0.00125×40+0.0015×60+0.00925×80+0.0245×100+0.011×120+0.0025×140）×20=100；…（6分）
（Ⅱ）設(shè)該同學(xué)每次聽(tīng)寫(xiě)正確的概率為p，
則連續(xù)兩次錯(cuò)誤的概率為(1-p)2=

1

9

，解得p=

2

3

，
他在最多五次聽(tīng)寫(xiě)機(jī)會(huì)中聽(tīng)寫(xiě)正確的字?jǐn)?shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，X的可能取值為：0，1，2，3，
X=0，連續(xù)3次錯(cuò)誤，P（X=0）=(

1

3

)3=

1

27

，
X=1，第四次錯(cuò)，前三次1對(duì)2錯(cuò)，P（X=1）=

C

1 3

(

2

3

)(

1

3

)3=

2

27

，
X=2，第五次錯(cuò)，前四次2對(duì)2錯(cuò)，P（X=2）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)3=

8

81

，
X=3，前三次對(duì)；或第四次對(duì)前三次2對(duì)1錯(cuò)；或第五次對(duì)前四次2對(duì)2錯(cuò)，
P（X=3）=(

2

3

)3+

C

1 3

(

2

3

)3(

1

3

)+

C

2 4

(

2

3

)3(

1

3

)2=

64

81

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 27	2 27	8 81	64 81

數(shù)學(xué)期望為E(X)=

6+16+192

81

=

214

81

．   …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．