Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則

1

|AF|

+

1

|BF|

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過(guò)F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入

1

|AF|

+

1

|BF|

答案可得．

解答：解：易知F坐標(biāo)（1，0）準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)過(guò)F點(diǎn)直線方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程，得 k²（x-1）²=4x．
化簡(jiǎn)后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁x₂=1
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

x1+1+x2+1

(x1+1)(x2+1)

=

x1+x2+2

x1+x2+x1x2+1

=

x1+x2+2

x1+x2+2

=1
故答案為1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義．對(duì)于過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線關(guān)系，常用拋物線的定義來(lái)解決．