Question

【題目】設函數(shù) （ 為常數(shù)，e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當 時，求函數(shù) 的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù) 在 內存在兩個極值點，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) 的定義域為

由 可得 ,

所以當 時, ,函數(shù) 單調遞減;

當 時, ,函數(shù) 單調遞增;

所以 的單調遞減區(qū)間為 單調遞增區(qū)間為

（2）解：由1知, 時,函數(shù) 在 內單調遞減,

故 在 內不存在極值點;

當 時,設函數(shù) ,,

因為 ,

當 時,當 時, , 單調遞增;

故 在 內不存在兩個極值點;

當 時,得 時, ,函數(shù) 單調遞減;

時, ,函數(shù) 單調遞增;

所以函數(shù) 的最小值為 ,

函數(shù) 在 內存在兩個極值點,

當且僅當 ,解得 .

綜上所述,函數(shù) 在 內存在兩個極值點時,k的取值范圍為

【解析】(1)根據(jù)題意結合已知條件求出原函數(shù)的導函數(shù)利用導函數(shù)在指定區(qū)間上的的正負情況得出原函數(shù)的增減性以及增減區(qū)間。(2)函數(shù)f(x) 在（ 0 , 2 ） 內存在兩個極值點，等價于它的導函數(shù)f‘(x) 在 ( 0 , 2 ) 內存在兩個不同的零點。
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的零點是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點．