【題目】如圖所示,橢圓的短軸為,,離心率,為第一象限內(nèi)橢圓上的任意一點,設軸于,為線段的中點,過作直線軸.

(1)求橢圓的方程;

(2)若的縱坐標為,求直線截橢圓所得的弦長;

(3)若直線交直線,為直線上一點,且為原點),證明:為線段的中點.

【答案】(1) ;(2) ;(3)見解析.

【解析】

1)先求出b1,再根據(jù)離心率公式和a2b2+c2,即可求出,

2)根據(jù)弦長公式即可求出,

3)設Px0,y0),求出點MD的坐標根據(jù)DQOQO為原點)即可證明.

(1)

,則,a=2

橢圓C的方程為:

(2)由點P在橢圓上,則,可得

,

直線AQ:y=x-1

代入,整理可得:

從而所截弦長為

(3)設P(),則Q,

直線AQ:y=x-1,與直線l:y=1聯(lián)立

可得=

設D(),由DQ,可得

解得,代入①式中,化簡

代入①式中,則,得證.

練習冊系列答案
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