Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1．
（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；
（2）求展開式中含x^-1的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由于展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1．利用通項(xiàng)公式可得

16 ∁ 4 n

4 ∁ 2 n

=

10

1

，解得n=8．令x=1，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和=（1-2）⁸；
（2）由通項(xiàng)公式可得T_r+1=

∁

r 8

(

x

)8-r(-

2

x2

)r=(-2)r

∁

r 8

x4-

5r

2

，令4-

5

2

r=-1，解得r即可得出．

解答： 解：（1）T₅=

∁

4 n

(

x

)n-4(-

2

x2

)4=(-2)4

∁

4 n

(

x

)n-4×x-8，T3=

∁

2 n

(

x

)n-2(-

2

x

)2=4

∁

2 n

(

x

)n-2•x-2．
∵展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1．
∴

16 ∁ 4 n

4 ∁ 2 n

=

10

1

，
∴2×

n(n-1)(n-2)(n-3)

4×3×2×1

=5×

n(n-1)

2

，
化為n²-5n-24=0，
解得n=8．
令x=1，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和=（1-2）⁸=1；
（2）由通項(xiàng)公式可得T_r+1=

∁

r 8

(

x

)8-r(-

2

x2

)r=(-2)r

∁

r 8

x4-

5r

2

，
令4-

5

2

r=-1，解得r=2．
∴T₃=4

∁

2 8

x-1
=112x^-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．