【題目】已知函數(shù)， ， ，

（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)．（記）

【答案】(1) 切線恒過(guò)定點(diǎn)．(2) 的范圍是 (3) 在區(qū)間上，滿足恒成立函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程為，故過(guò)定點(diǎn)；（2）根據(jù)的取值的不同情況分類討論處理，最后得的范圍是；（3）見(jiàn)解析。

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，

所以在點(diǎn)處的切線方程為，

整理得，所以切線恒過(guò)定點(diǎn)．

（2）令 ，對(duì)恒成立，

因?yàn)?/span>

令，得極值點(diǎn)， ，

①當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，在上有，

此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，有，同理可知， 在區(qū)間上，有，也不合題意；

③當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

所以．

綜上可知的范圍是．

（利用參數(shù)分離得正確答案扣2分）

（3）當(dāng)時(shí)， ，

記， ．

因?yàn)?/span>，

令，得

所以在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，

設(shè)，則，

所以在區(qū)間上，滿足恒成立函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)

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