Question

已知函數(shù)，（其中）.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若存在，對(duì)任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）.

（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)非負(fù)，函數(shù)是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)非正，函數(shù)是減函數(shù).通過(guò)研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值正負(fù)，解決問(wèn)題；

（2）利用“轉(zhuǎn)化與劃歸思想”，由題意得到在上恒成立，即在上恒成立，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，解得，注意驗(yàn)證時(shí)，是否恒為0；

（3）將“存在，對(duì)任意的，總有成立”轉(zhuǎn)化成“在上的最大值不小于在上的最大值”. 建立的不等式組.

試題解析：（1），，

，故.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. 3分

（2），則，由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增，因此只需使，解得；

易知當(dāng)時(shí)，且不恒為0.

故. 7分

（3）當(dāng)時(shí)，，，故在上，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，. 9分

而“存在，對(duì)任意的，總有成立”等價(jià)于“在上的最大值不小于在上的最大值”.

而在上的最大值為中的最大者，記為.

所以有，，

.

故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 13分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，轉(zhuǎn)化與劃歸思想，不等式的解法.