Question

已知函數(shù) 的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn) 處的切線斜率為.

(1) 求實(shí)數(shù)的值；

(2) 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

(3) 若函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)都滿足是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且三角形斜邊中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圖像過原點(diǎn)得，又切線斜率等于切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值，得，解出；（2）時(shí)，對(duì)求導(dǎo)以判斷函數(shù)的單調(diào)性，得，

令則，令則或，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，為極小值點(diǎn)，，為極大值點(diǎn)，，，

比較極小值與區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值，，得在上的最小值為0，當(dāng)或1時(shí)取得；（3）設(shè)，利用橫坐標(biāo)的對(duì)稱關(guān)系得出，由得，于是①，然后對(duì)以為分界點(diǎn)分類討論方程①是否存在解，當(dāng)時(shí)，都有，故方程①無解；當(dāng)時(shí)，，代入①化簡(jiǎn)得，該方程判別式小于0，故方程無解；當(dāng)時(shí)，代人①化簡(jiǎn)得，再考慮此方程是否有解，令，求導(dǎo)分析知是增函數(shù)，注意到，故的值域是，因此方程①對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒有解；當(dāng)時(shí)，由橫坐標(biāo)的對(duì)稱性同理可得，方程①對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒有解，綜上可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，

依題意，，

又，故；...............3分

（2）當(dāng)時(shí)，，

令有，故在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；

在單調(diào)遞減．又,

所以當(dāng)時(shí)，； 6分

（3）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507024468436266/SYS201411150702497626738550_DA/SYS201411150702497626738550_DA.066.png">中點(diǎn)在軸上，所以，

又 ①，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故①不成立 7分

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，代人①得：

，

無解； 8分

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，代人①得：

②，

設(shè)，則是增函數(shù).

的值域是． 10分

所以對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，②恒有解，故滿足條件．

（ⅳ）由橫坐標(biāo)的對(duì)稱性同理可得，當(dāng)時(shí)，

，代人①得：

③

設(shè)，令，則

由上面知的值域是的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507024468436266/SYS201411150702497626738550_DA/SYS201411150702497626738550_DA.087.png">.

所以對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，③恒有解，故滿足條件. 12分

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為..........14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)與切線關(guān)系；2、函數(shù)單調(diào)性與最值；3、分類討論的思想；4、函數(shù)與方程的思想.