Question

已知函數(shù)f（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1在[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分二次項(xiàng)的系數(shù)大于零、等于零、小于零三種情況，分別利用條件以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：當(dāng)-（1+λ）＞0，即λ＜-1時(shí)，應(yīng)有

2(1-λ)

2(1+λ)

≤-1，即

2

1+λ

≤0，求得λ＜-1，∴λ＜-1．
當(dāng)-（1+λ）=0，即λ=-1時(shí)，f（x）=4x+1，滿足在[-1，1]上是增函數(shù)．
 當(dāng)-（1+λ）＜0，即λ＞-1時(shí)，應(yīng)有有

2(1-λ)

2(1+λ)

≥1，即

2λ

1+λ

≤0，求得λ≤0，∴-1＜λ≤0．
綜上可得，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．