Question

已知函數(shù)，其中且.

（1）討論的單調(diào)性；

(2) 若不等式恒成立，求實數(shù)取值范圍；

（3）若方程存在兩個異號實根，，求證：

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷導數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先求函數(shù)的定義域，對求導，由于，所以討論a的正負，利用的正負，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問，結合第一問的結論，當時舉一反例證明不恒成立，當時，將恒成立轉化為恒成立，令，利用導數(shù)求的最小值；第三問，要證，需證，令，利用函數(shù)的單調(diào)性，解出的大小.

(１)的定義域為.

其導數(shù) 2分

①當時,,函數(shù)在上是增函數(shù);

②當時,在區(qū)間上,;在區(qū)間(0,+∞)上,．

所以,在是增函數(shù),在(0,+∞)是減函數(shù). 4分

(２)當時, 則取適當?shù)臄?shù)能使，比如取，

能使, 所以不合題意 6分

當時，令,則

問題化為求恒成立時的取值范圍.

由于

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,. 8分

的最小值為,所以只需

即,, 10分

(３)由于存在兩個異號根，不仿設，因為,所以 11分

構造函數(shù):()

所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù). ,則,

于是,又,,由在上為減函數(shù)可知.即 14分

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷導數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值.