已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式為奇函數(shù),f(1)=-3,且對(duì)任意x∈[π,2π],f(sinx-1)≥0恒成立,f(cosx+3)≥0恒成立.
(1)求b的值;
(2)求證f(2)=0,并求f(x)解析式;
(3)若對(duì)任意t∈(1,2],恒有f(tm)+f(-m-1-t2)<0,求正數(shù)m的取值范圍.

解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x)恒成立,即恒成立,
可得b=0
(2)∵π≤x≤2π,
∴-1≤sinx≤0,-1≤cosx≤1,
∴-2≤sinx-1≤-1,2≤cosx+3≤4
又∵f(sinx-1)≥0,f(cosx+3)≥0恒成立,
∴f(-2)≥0且f(2)≥0,
∵f(x)是奇函數(shù),
∴由f(-2)≥0可得f(2)≤0,
∴f(2)=0
∴由,及,得c=-4,a=1,

(3)∵f(x)是奇函數(shù)得f(tm)<f(t2+m+1),
又∵在(0,+∞)是增函數(shù),m>0,t>0,
∴tm>0,m+1+t2>0∴tm<t2+m+1,∴(t-1)m<t2+1,
∵t∈(1,2]∴t-1>0,
在t∈(1,2]上恒成立
設(shè)k=t-1,則k∈(0,1]且t2+1=k2++2k+2,設(shè),
則g(k)在k∈(0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(k)min=g(1)=5,∴m<5,
又m>0,所以0<m<5
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),我們易根據(jù)f(-x)=-f(x)恒成立,構(gòu)造方程,解方程即可求出求b的值;
(2)由對(duì)任意x∈[π,2π],f(sinx-1)≥0恒成立,f(cosx+3)≥0恒成立我們可得f(-2)≥0且f(2)≥0結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì),即可得到f(2)=0,結(jié)合已知中f(1)=-3,構(gòu)造方程組,解方程組即可得到f(x)解析式;
(3)根據(jù)(2)中的解析式,我們易判斷在(0,+∞)是增函數(shù),根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),我們可將不等式f(tm)+f(-m-1-t2)<0恒成立,轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)恒成立問(wèn)題,進(jìn)而得到正數(shù)m的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用,其中根據(jù)已知利用方程和函數(shù)的思想,求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵.
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