Question

已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函數(shù)解析式為：．
∴對f（x）求導(dǎo)數(shù)，得．
∵當(dāng)x＞1時，＜0成立，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0，得f（1+2x²）＞﹣f（﹣x²+2x﹣4）．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴﹣f（﹣x²+2x﹣4）=f（x²﹣2x+4）．
原不等式化為：f（1+2x²）＞f（x²﹣2x+4）．
又∵1+2x^2≥1，x²﹣2x+4=（x﹣1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴1+2x²＜x²﹣2x+4，即x²+2x﹣3＜0，解之得﹣3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}