如圖，四棱錐P-ABCD中，O為菱形ABCD對角線的交點，M為棱PD的中點，MA=MC．
（1）求證：PB∥平面AMC；
（2）求證：平面PBD⊥平面AMC．
考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題：證明題,空間位置關系與距離
分析：（1）利用三角形中位線的性質，證明OM∥PB，從而可得線面平行；
（2）先證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PBD⊥平面AMC．
解答： 證明：（1）連結OM，
因為O為菱形ABCD對角線的交點，
所以O為BD的中點，
又M為棱PD的中點，
所以OM∥PB，…（2分）
又OM?平面AMC，PB?平面AMC，
所以PB∥平面AMC；                      （6分）
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，且O為AC的中點，
又MA=MC，故AC⊥OM，…（8分）
而OM∩BDO，OM，BD?平面PBD，
所以AC⊥平面PBD，…（11分）
又AC?平面AMC，
所以平面PBD⊥平面AMC．                              …（14分）
點評：本小題主要考查空間線面關系等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，d為常數(shù)，已知對?n，m∈N*，當n＞m，總有Sn-Sm=Sn-m+m（n-m）d成立
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若正整數(shù)n，m，k成等差數(shù)列，比較Sn+Sk與2Sm的大小，并說明理由；
（3）探究：命題p：“對?n，m∈N*，當n＞m時，總有Sn-Sm=Sn-m+m（n-m）d”是命題q：“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的充要條件嗎？請證明你的結論；由此類比，請你寫出數(shù)列{bn}是等比數(shù)列（公比為q，且q≠0）的充要條件（無需證明）？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=
2

（1）若
a
∥
b
，求
a
•
b
；
（2）若
a
，
b
的夾角為135°，求|
a
+
b
|；
（3）若
a
-
b
與
a
垂直，求
a
與
b
的夾角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若復數(shù)z1=a+2i（a∈R），z2=3-4i，且
z1
z2
為純虛數(shù)，求|z1|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知p：{x|
x+2≥0
x-10≤0
}，q：{x|1-m≤x≤1+m，m＞0}．
（1）若m=1，則p是q的什么條件？
（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（1，2），
b
=（k，2）（k∈Z），
a
與
b
的夾角為
π
4
．
（1）求|
b
|
（2）求
a
•
b
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
x2-2x，求f（x）的單調區(qū)間和極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中實數(shù)a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內均為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點且g（x）存在最小值時，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

棱長均為3的三棱錐S-ABC，若空間一點P滿足
SP
=x
SA
+y
SB
+z
SC
(x+y+z=1)，則|
SP
|的最小值為
 
．

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