在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足
OC
=
1
3
OA
+
2
3
OB
．
（1）求證：A，B，C三點共線；
（2）若A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，
π
2
]，f(x)=
OA
•
OC
-(2m2+
2
3
)•|
AB
|的最小值為
1
2
，求實數(shù)m的值．
分析：（1）由條件求得
AB
 和
AC
，可得
AC
=
2
3
•
AB
，從而得到
AC
∥
AB
，即A，B，C三點共線．
（2）先求出
AB
=(sinx，0)，從而求得f（x）=1+sinx+cos2x-(2m2+
2
3
)sinx，由x的范圍求得sinx∈[0，1]，利用二次函數(shù)的性質求出f（x）的最小值，即可求得實數(shù)m的值．
解答：解：∵（1）
OC
=
1
3
OA
+
2
3
OB
，∴
AC
=
OC
-
OA
=-
2
3
OA
+
2
3
OB
，
AB
=
OB
-
OA
，…（1分）
∴
AC
=
2
3
•
AB
，…（4分）∴
AC
∥
AB
，即A，B，C三點共線．  …（5分）
（2）由A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，
π
2
]，…（6分）
∵
AB
=(sinx，0)，∴|
AB
|=
sin2x
=sinx，…（7分）
∵
OC
=
1
3
OA
+
2
3
OB
=（1+
2
3
sinx，cosx），
從而 f(x)=
OA
•
OC
-(2m2+
2
3
)•|
AB
|=1+
2
3
sinx+cos2x-(2m2+
2
3
)sinx 
=-sin2x-2m2 sinx+2=-（sinx+m2）2+m4+2．…（10分）
又x∈[0，
π
2
]，則t=sinx∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+m2）2+m4+2．
由于-m2≤0，∴g（t）=-（t+m2）2+m4+2 在[0，1]上是減函數(shù)，
當t=1，即x=
π
2
時，f（x）=g（t）取得最小值為-(1+m2)2+m4+2=
1
2
，解得m=±
1
2
，
綜上，m=±
1
2
． …（14分）
點評：本題主要考查兩個向量共線的條件，兩個向量的數(shù)量積公式的應用，兩個向量的坐標形式的運算，二次函數(shù)的性質應用，屬于中檔題．
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在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經過任何整點
③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經過一個整點的直線．

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在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是（　�。�

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在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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