Question

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分別是PD，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足為N，求證：MN⊥PD．

Answer 1

證明見解析.

試題分析：（1）取PA的中點(diǎn)E，連結(jié)EM、BE，根據(jù)三角形的中位線定理證出ME∥AD且ME=AD，平行四邊形中Q是BC的中點(diǎn)，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四邊形MQBE是平行四邊形，可得MQ∥BE，再結(jié)合線面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，結(jié)合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，從而有AN⊥CD．又因?yàn)锳N⊥PC，結(jié)合PC、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，可得AN⊥平面PCD，從而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三線合一”，證出AM⊥PD，結(jié)合AM、AN是平面AMN內(nèi)的相交直線，得到PD⊥平面AMN，從而得到MN⊥PD．
（1）取PA的中點(diǎn)E，連結(jié)EM、BE，
∵M(jìn)是PD的中點(diǎn)，∴ME∥AD且ME=AD，
又∵Q是BC中點(diǎn)，∴BQ=BC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，
∴四邊形MQBE是平行四邊形，可得MQ∥BE， （4分）
∵BE?平面PAB，MQ?平面PAB，
∴MQ∥平面PAB； （6分）

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線，
∴CD⊥平面PAC，結(jié)合AN?平面PAC，得AN⊥CD．   （9分）
又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，
∴AN⊥平面PCD，結(jié)合PD?平面PCD，可得AN⊥PD， （12分）
∵PA=AD，M是PD的中點(diǎn)，∴AM⊥PD， （13分）
又∵AM、AN是平面AMN內(nèi)的相交直線，∴PD⊥平面AMN，
∵M(jìn)N?平面AMN，∴MN⊥PD． （14分）