Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）^α的定義域是[-1，+∞），其中常數(shù)α＞0．
（1）若α＞1，求y=f（x）的過原點(diǎn)的切線方程．
（2）當(dāng)α＞2時(shí)，求最大實(shí)數(shù)A，使不等式f（x）＞1+αx+Ax²對(duì)x＞0恒成立．
（3）證明當(dāng)α＞1時(shí)，對(duì)任何n∈N^*，有1＜

1

n

n+1

k=2

（（

k-1

k

）^α+

α

k

）＜α．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求y=f（x）的過原點(diǎn)的切線方程．
（2）令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，則g（0）=0，g′（x）=α（1+x）^α-1-α-2Ax，顯然g′（0）=0，且g′（x）的導(dǎo)函數(shù)為g″（x）=α（α-1）（1+x）^α-2-2A．分類討論，根據(jù)不等式f（x）＞1+αx+Ax²對(duì)x＞0恒成立，即可得出結(jié)論．
（3）證明對(duì)x∈（-1，0）恒有1＜（1+x）^α-αx＜α，在此不等式中x=-

1

2

，-

1

3

，…，-

1

n+1

，不等式相加，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=（1+x）^α，∴f′（x）=α（1+x）^α-1．
若切點(diǎn)為原點(diǎn)，由f′（0）=α知切線方程為y=αx+1； 
若切點(diǎn)不為原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，（1+x₀）^α），
∴由切線過原點(diǎn)可知

(1+x0)α

x0

=α（1+x₀）^α-1在（-1，+∞）內(nèi)有唯一的根x₀=

1

α-1

∵f′（

1

α-1

）=

αα

(α-1)α-1

，
∴切線方程為y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)n
綜上，所求切線有兩條：y=αx+1和y=

αα

(α-1)α-1

x+(

α

α-1

)n；
（2）令g（x）=f（x）-1-αx-Ax²，則g（0）=0，g′（x）=α（1+x）^α-1-α-2Ax，
顯然g′（0）=0，且g′（x）的導(dǎo)函數(shù)為g″（x）=α（α-1）（1+x）^α-2-2A．
若A≤

α(α-1)

2

，則

2A

α(α-1)

≤1，由α＞2知（1+x）^α-2＞1對(duì)x＞0恒成立，從而對(duì)x＞0恒有g(shù)″（x）＞0，
即g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，從而g′（x）＞g′（0）=0對(duì)x＞0恒成立，從而g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，
∴g（x）＞g（0）=0對(duì)x＞0恒成立．
若A＞

α(α-1)

2

，則

2A

α(α-1)

＞1，由α＞2知知存在x₀＞0，使得（1+x）^α-2＜

2A

α(α-1)

對(duì)x∈（0，x₀）恒成立，即g″（x）＜0對(duì)x∈（0，x₀）恒成立，
由g′（0）=0知存在x₁＞0，使得g′（x）＜0對(duì)x∈（0，x₁）恒成立，
∵g（0）=0，∴g（x）＞0不能對(duì)x＞0恒成立，
綜上，最大實(shí)數(shù)A是

α(α-1)

2

；
（3）證明：當(dāng)α＞1時(shí)，令h（x）=f（x）-αx，則h′（x）=α[（1+x）^α-1-1]，
∴x∈（-1，0）時(shí)，h′（x）＜0，
即h（x）=f（x）-αx在[-1，0]上單調(diào)遞減，∴h（0）＜h（x）＜h（-1）對(duì)x∈（-1，0）恒成立，
∵h(yuǎn)（0）=1，h（-1）=α，
∴1＜h（x）＜α，
即對(duì)x∈（-1，0）恒有1＜（1+x）^α-αx＜α，
在此不等式中x=-

1

2

，-

1

3

，…，-

1

n+1

∴1＜(1-

1

2

)α+

α

2

＜α，1＜(1-

1

3

)α+

α

3

＜α，1＜(1-

1

4

)α+

α

4

＜α，1＜(1-

1

5

)α+

α

5

＜α，
…1＜(1-

1

n+1

)α+

α

n+1

＜α，
將以上不等式相加得：n＜

n+1

k=2

(1-

1

k

)α+

α

k

＜nα，
即1＜

1

n

n+1

k=2

((

k-1

k

)α+

α

k

)＜α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．