Question

設(shè)曲線C的方程是y=x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C₁．
（1）寫出曲線C₁的方程；
（2）證明曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（

t

2

，

s

2

）對(duì)稱；
（3）如果曲線C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s=

t3

4

-t且t≠0．

Answer 1

分析：（1）將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后，x變?yōu)閤-t，y變?yōu)閥-s，
（2）在曲線C上任取一點(diǎn)B₁（x₁，y₁），利用中點(diǎn)公式求出它關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B₂，證明點(diǎn)B₂在曲線C₁上，同樣證明，
在曲線C₁上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上．
（3）曲線C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程組有唯一解，對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式等于0，

解答：（1）解：曲線C₁的方程為 y=（x-t）³-（x-t）+s．
（2）證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B₁（x₁，y₁）．設(shè)B₂（x₂，y₂）是B₁關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，
則有

x1+x2

2

=

t

2

，

y1+y2

2

=

s

2

，所以x₁=t-x₂，y₁=s-y₂．
代入曲線C的方程，得x₂和y₂滿足方程：
s-y₂=（t-x₂）³-（t-x₂），即y₂=（x₂-t）³-（x₂-t）+s，可知點(diǎn)B₂（x₂，y₂）在曲線C₁上．
反過來，同樣可以證明，在曲線C₁上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上．
因此，曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱．
（3）證明：因?yàn)榍�線C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，方程組

y=x3-x y=(x-t)3-(x-t)+s

有且僅有一組解．
消去y，整理得 3tx²-3t²x+（t³-t-s）=0，這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根．
所以t≠0并且其根的判別式△=9t⁴-12t（t³-t-s）=0，即

t≠0 t(t3-4t-4s)=0.

所以s=

t3

4

-t且t≠0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)圖象、方程與曲線，曲線的平移、對(duì)稱和相交等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)動(dòng)、變換等數(shù)學(xué)思想方法以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．