如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，A1D1=2，A1A=2
3
，點P為動點，
（1）當P為AD1得中點時，求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值；
（2）當PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值．
考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：（1）過點P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E，則PE∥AA1，可得∠B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角，在Rt△B1PE中，利用余弦函數(shù)可求異面異面直線AA1與B1P所成角的余弦值．
（2）由（1）知，B1A1⊥平面AA1D1，故∠B1PA1是PB1與平面AA1D1所成的角且tan∠B1PA1=
B1A1
A1P
=
2
A1P
，當A1P最小時，tan∠B1PA1最大，由此可得結論．
解答： 解：（1）過點P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E（如圖），
則PE∥AA1，∴∠B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角．
ABCD-A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，A1D1=2，A1A=2
3
，
∴A1B1=A1D1=2，A1E=
1
2
A1D1=1．
又PE=
1
2
AA1=
3
．
∴在Rt△B1PE中，B1P=
5+3
=2
2
，
cos∠B1PE=
PE
B1P
=
3
2
2
=
6
4
．
∴異面異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為
6
4
．
（2）由（1）知，B1A1⊥平面AA1D1，
∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1所成的角，
且tan∠B1PA1=
B1A1
A1P
=
2
A1P
，
當A1P最小時，tan∠B1PA1最大，
這時A1P⊥AD1，由A1P=
A1D1•A1A
AD1
=
3
，
得tan∠B1PA1=
2
3
3
，
即PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值為
2
3
3
．
點評：本題考查線線角、線面角的求法，解題的關鍵是正確作出線線角與線面角，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，b∈R+，e為自然數(shù)的底數(shù)，則[
1
2
ea-ln（2b）]2+（a-b）2的最小值為（　�。�
A、（1-ln2）2
B、2（1-ln2）2
C、1+ln2
D、
2
（1-ln2）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（-1）=f（2），且不等式x≤f（x）≤2|x-1|+1對x∈[0，2]恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若c＜0，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上有兩個零點，求2b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
3
sinxcosx+3sin2x-
3
2

（1）求f（x）的最小正周期及f（
π
12
）；
（2）求y=f（x）的單調增區(qū)間；
（3）當x∈[
π
3
，
5π
6
]時，求y=f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：
2
．求：
（1）直線PB與與平面ABCD所成角的大��；
（2）直線PB與平面PDC所成角的大小．
（3）直線PC與平面PBD所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四面體OABC各棱長為1，D是棱OA的中點，則異面直線BD與AC所成角的余弦值（　�。�
A、
3
3
B、
1
4
C、
3
6
D、
2
8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

F1，F(xiàn)2是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F1的直線l與C的左右兩支分別交于AB兩點，若BF2⊥AB，且線段AB，BF2，AF2長度成等差數(shù)列，則e=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．
（Ⅰ）求證：平面B1AC⊥底面ABC；
（Ⅱ）求B1C與平面ABB1A1所成角的正弦值；
（Ⅲ）若E，F(xiàn)分別是線段A1C1，C1C的中點，問在線段B1F上是否存在點P，使得EP∥平面ABB1A1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知M、N分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中點，求：
（1）MN和CD′所成的角；
（2）MN和AD所成的角．

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