【題目】如圖,在三棱錐 中, 平面 , , , 分別在線段 上, , , 是 的中點(diǎn).
(1)證明: 平面 ;
(2)若二面角 的大小為 ,求 .
【答案】
(1)證明:取 的中點(diǎn) ,連接 ,則 ,所以 .
又 平面 ,所以 平面 .
又 是 的中位線,所以 ,
從而 平面 .
又 ,所以平面 平面 .
因?yàn)? 平面 ,所以 平面
(2) 解:以 為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在的直線分別為 軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo).
設(shè) , ,則 , , ,則 , ,
設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量,
則 即 取 ,
不難得到平面 的一個(gè)法向量為 ,
所以 ,所以 ,
在 中, .
【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線利用對(duì)應(yīng)線段成比例性質(zhì)即可得出線線平行進(jìn)而得到線面平行,再利用中位線的性質(zhì)得到線線平行結(jié)合線面平行的判定定理即可得證。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo),設(shè)出平面ABC和平面ABD的法向量,由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量,再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值進(jìn)而可得到二面角的正切值。
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行;判斷兩平面平行的方法有三種:用定義;判定定理;垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(0, )上無零點(diǎn),求a最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為正三角形,E,F(xiàn)分別是A1C1 , B1C1上的點(diǎn),且滿足A1E=EC1 , B1F=3FC1 .
(1)求證:平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長(zhǎng)均相等,求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.
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【題目】已知 :方程 有兩個(gè)不等的正根; :方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線.
(1)若 為真命題,求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(2)若“ 或 ”為真,“ 且 ”為假,求實(shí)數(shù) 的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把函數(shù) 的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍,再向左平移 ,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,
(I)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(II)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼叫信號(hào),我海軍艦艇在處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為,距離為15海里的處,并測(cè)得漁船正沿方位角為的方向,以15海里/小時(shí)的速度向小島靠攏,我海軍艦艇立即以海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救,求艦艇靠近漁船所需的最少時(shí)間和艦艇的航向.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店對(duì)新引進(jìn)的商品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):
定價(jià)(元) | 9 | 9.2 | 9.4 | 9.6 | 9.8 | 10 |
銷量(件) | 100 | 94 | 93 | 90 | 85 | 78 |
(1)求回歸直線方程;
(2)假設(shè)今后銷售依然服從(Ⅰ)中的關(guān)系,且該商品金價(jià)為每件5元,為獲得最大利潤(rùn),商店應(yīng)該如何定價(jià)?(利潤(rùn)=銷售收入-成本)
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年需投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品,還需增加投入0.25萬元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件,產(chǎn)品銷售數(shù)量為 件時(shí),銷售所得的收入為 萬元.
(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為 件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量 的函數(shù)為 ,求 ;
(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí),當(dāng)年所獲得利潤(rùn)最大?
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