Question

(本小題滿分14分) 已知函數(shù)及正整數(shù)數(shù)列. 若,且當(dāng)時(shí),有; 又,,且對(duì)任意恒成立. 數(shù)列滿足:.
(1) 求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;
(2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3) 證明存在，使得對(duì)任意均成立．

Answer 1

(1)，， (2) 當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和， (3) 存在，使得對(duì)任意均成立

(1) 由得： .因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124134703335.gif" style="vertical-align:middle;" />是正整數(shù)列,所以.于是是等比數(shù)列. 又,, 所以 .                              
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124134796348.gif" style="vertical-align:middle;" /> ,所以,于是:,說明是以2為公比的等比數(shù)列. 所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231241349371084.gif" style="vertical-align:middle;" />, 由題設(shè)知： ，解得：。
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124133954239.gif" style="vertical-align:middle;" />且，所以。
于是。
(2) 由得：.由及得：
設(shè)               ①
　　　　　　　　②
當(dāng)時(shí)，①式減去②式, 得

于是,
這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．
當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．
(3) 證明：通過分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：
　　　　               ③
由知，要使③式成立，只要，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124135842764.gif" style="vertical-align:middle;" />
．
所以③式成立．
因此，存在，使得對(duì)任意均成立．