Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分別在線段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中點．

（1）證明：DQ∥平面CPM；
（2）若二面角C﹣AB﹣D的大小為 ，求∠BDC的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點E，

則 ，所以EQ∥PC．

又EQ平面CPM，所以EQ∥平面CPM．

又PM是△BDE的中位線，所以DE∥PM，

從而DE∥平面CPM．

所以平面DEQ∥平面CPM，

故DQ∥平面CPM．

（2）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM

由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，

故CM⊥平面ABD．

由（1）知DE∥PM，而DE⊥AB，故PM⊥AB．

所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，

即 ．

設(shè)PM=a，則 ， ，

在Rt△CMD中， ．

所以∠BDC的正切值為 ．

解法2：以M為坐標(biāo)原點，MC，MD，ME所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)MC=a，MD=b，則C（a，0，0），B（0，﹣b，0），A（0，b，2b）

則 ，

設(shè) 平面ABC的一個法向量，

則 即 取

平面ABD的一個法向量為 ，

所以 ，所以

在Rt△CMD中，

所以∠BDC的正切值為 ．

【解析】（1）取AB的中點E，則EQ∥PC，從而EQ∥平面CPM，由中位線定理得DE∥PM，從而DE∥平面CPM，進(jìn)而平面DEQ∥平面CPM，由此能證明DQ∥平面CPM．（2）法1：推導(dǎo)出AD⊥CM，BD⊥CM，從而CM⊥平面ABD，進(jìn)而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，由此能求出∠BDC的正切值．法2：以M為坐標(biāo)原點，MC，MD，ME所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出∠BDC的正切值．