Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（{a＞b＞0}）的離心率e=

2

2

，且由橢圓上頂點、右焦點及坐標原點構(gòu)成的三角形面積為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知P（0，2），過點Q（-1，-2）作直線l交橢圓C于A、B兩點（異于P），直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．試問k₁+k₂ 是否為定值？若是，請求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的實際背景及作用,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）留言橢圓的離心率，a、b、c的關(guān)系，以及三角形的面積，解方程組即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用直線斜率存在與不存在兩種情況，通過直線方程與橢圓的方程，求出A、B坐標，求出直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．k₁+k₂ 為定值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

a2=b2+c2 c a = 2 2 1 2 bc=2

，解得a²=8，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．…5分
（Ⅱ）k₁+k₂ 為定值4，證明如下：…6分
（ⅰ）當直線l斜率不存在時，l方程為x=-1，
由方程組

x=-1 x2 8 + y2 4 =1

易得A(-1，

14

2

)，B(-1，-

14

2

)，
于是k₁=

2- 14 2

0-(-1)

=

4- 14

2

，k₂=

2-(- 14 2 )

0-(-1)

=

4+ 14

2

，
所以k₁+k₂=4為定值．…8分
（ⅱ）當直線l斜率存在時，設(shè)l方程為y-（-2）=k[x-（-1）]，即y=kx+k-2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組

x=-1 x2 8 + y2 4 =1

，消去y，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0，
由韋達定理得

x1+x2= -4k(k-2) 1+2k2 x1x2= 2k2-8k 1+2k2

（*）  …10分
∴k₁+k₂=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=

(y1-2)x2+(y2-2)x1

x1x2

=

(kx1+k-4)x2+(kx2+k-4)x1

x1x2

=

2kx1x2+(k-4)(x1+x2)

x1x2

=2k+（k-4）•

x1+x2

x1x2

，
將（*）式代入上式得k₁+k₂=4為定值．…13分．

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．