已知橢圓 (a>b>0)，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0，0)．證明．

證明見解析


解析:

本小題考查橢圓性質(zhì)、直線方程等知識，以及綜合分析能力．

證法一：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x1≠x2．又交點為P(x0，0)，故|PA|=|PB|，即

(x1－x0)2+=(x2－x0)2+     ①

∵    A、B在橢圓上，∴， ．

將上式代入①，得2(x2－x1) x0=     ②

∵    x1≠x2，可得         ③

∵    －a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，∴  －2a<x1+x2<2a，

∴   

證法二：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)．因P(x0，0)在AB的垂直平分線上，以點P為圓心，|PA|=r為半徑的圓P過A、B兩點，圓P的方程為(x－x0)2+y2=r2，

與橢圓方程聯(lián)立，消去y得(x－x0)2x2=r2－b2，

∴   ①

因A、B是橢圓與圓P的交點，故x1，x2為方程①的兩個根．由韋達(dá)定理得

x1+x2=x0．

因－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，故－2a<x1+x2=x0<2a，

∴

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

. 19(本小題滿分14分)

       已知橢圓 (a>b>0)與直線

       x+y－1 = 0相交于A、B兩點，且OA⊥OB

       (O為坐標(biāo)原點)．

(I)   求 + 的值；

(II)  若橢圓長軸長的取值范圍是［,］，

       求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江西省協(xié)作體高三5月第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

4

1

2

4

2

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i) 求的最值.

(ii) 求四邊形ABCD的面積；

 

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已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

4

1

2

4

2

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i) 求的最值.

(ii) 求四邊形ABCD的面積；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年四川省綿陽市高三第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為Fl vF2  ,離心率,A為右頂點,K為右準(zhǔn)線與x軸的交點，且.

(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2) 設(shè)橢圓的上頂點為B,問是否存在直線l,使直線l交橢圓于C,D兩點，且橢圓的左焦點F1恰為的垂心?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

 

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