Question

（2013•天河區(qū)三模）已知函數(shù)f(x)=

1+lg(x-1)，x＞1 g(x)，x＜1

的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，且函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，則下列結(jié)論：
（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；
（2）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）＞0恒成立；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有兩個(gè)實(shí)根．
其中正確結(jié)論的題號(hào)為（　�。�

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（1）（3）

D．（1）（2）（3）

Answer 1

分析：由函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義列式，可證出y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，1）對(duì)稱，故（1）正確；求出函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到g（x）＜1恒成立，故（2）不正確；由以上的討論，得到函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)f（x）的進(jìn)行討論，可得（3）也是正確的．由此不難得到正確選項(xiàng)．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，
∴f（-x+1）-1=-[f（x+1）-1]，即f（1+x）+f（1-x）=2，
可得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，1）對(duì)稱，故（1）正確；
∵f（1+x）+f（1-x）=2，得f（x）=2-f（2-x）
∴當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=g（x）=2-[1+lg（1-x）]=1-lg（1-x）
因此當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，lg（1-x）＞lg1=0，可得g（x）＜1
所以g（x）＞0不能恒成立，故（2）不正確；
由以上的分析可得：f(x)=

1+lg(x-1)，x＞1 1-lg(1-x)，x＜1

結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)可得：函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，1）上為增函數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的圖象以x=1為漸近線，且在漸近線的兩側(cè)y的取值都是（-∞，+∞）
關(guān)于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有兩個(gè)實(shí)根，故（3）正確．
綜上所述，正確的選項(xiàng)是（1）、（3）
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的特殊函數(shù)，叫我們討論它的單調(diào)性與圖象的對(duì)稱性．著重考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．