Question

若等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足

Sn

S2n

為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“優(yōu)”數(shù)列．
（1）判斷a_n=4n-2是否為“優(yōu)”數(shù)列？并說明理由；
（2）若首項為1，且公差不為零的等差數(shù)列{a_n}為“優(yōu)”數(shù)列，試求出該數(shù)列的通項公式；
（3）若首項為1，且公差不為零的等差數(shù)列{a_n}為“優(yōu)”數(shù)列，正整數(shù)k，h滿足k+h=2013，求

4

Sk

+

1

Sh

的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“優(yōu)”數(shù)列，代入驗證即可；
（2）由

Sn

S2n

=k，首項為1，可得2n+n²d-nd=4kn+4n²dk-2nkd，化簡得d（4k-1）n+（2k-1）（2-d）=0，從而可得

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，即可得出結(jié)論；
（3）

4

Sk

+

1

Sh

=

4

k

+

1

h

=

1

2013

（k+h）（

4

k

+

1

h

），利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由a_n=4n-2，得a₁=2，d=4，
∴

Sn

S2n

=

n 2 (2+4n-2)

2n 2 (2+8n-2)

=

1

4

，
∴a_n=4n-2是“優(yōu)”數(shù)列；
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}，公差為d，則由

Sn

S2n

=k，首項為1，可得2n+n²d-nd=4kn+4n²dk-2nkd，
化簡得d（4k-1）n+（2k-1）（2-d）=0①，
由于①對任意正整數(shù)n均成立，∴

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，
∴d=2，k=

1

4

，
∴a_n=2n-1；
（3）由（2）知a_n=2n-1，正整數(shù)k，h滿足k+h=2013，
∴

4

Sk

+

1

Sh

=

4

k

+

1

h

=

1

2013

（k+h）（

4

k

+

1

h

）=

1

2013

（5+

k

h

+

4h

k

）≥

1

2013

（5+4）=

3

671

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=2h=1342時，

4

Sk

+

1

Sh

的最小值為

3

671

．

點評：本題考查新定義，考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式的運用，綜合性強．