Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)均為3，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在AA₁上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在底面ABC上運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與正三棱柱共頂點(diǎn)A的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)中的條件可以判斷出MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與正三棱柱共頂點(diǎn)A的三個(gè)面所圍成的幾何體是一個(gè)半徑為1的球的一部分，故由球的體積公式求即可

解答：解：由題意知，∠MAN=90°，再由P是中點(diǎn)，知AP=

1

2

MN=1，故MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）是一個(gè)球面的一部分，此球以A球心，1為半徑
由題意MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與正三棱柱共頂點(diǎn)A的三個(gè)面所圍成的幾何體此球的體積的

1

12

故其體積為

1

12

×

4

3

× π×12=

π

9

故答案為

π

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積與表面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中的條件確定出所圍成的幾何體是一個(gè)球的一部分且能根據(jù)正三棱柱的幾何特征及此幾何體的幾何特征出其體積正好是相應(yīng)球的體積的

1

12

，本題考查了空間想像能力．