對于實(shí)數(shù)x,將滿足“0≤y<1且x-y為整數(shù)”的實(shí)數(shù)y稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分,用記號{x}表示.例如{1.2}=0.2,{-1.2}=0.8,{
8
7
}=
1
7
.對于實(shí)數(shù)a,無窮數(shù)列{an}滿足如下條件:a1={a},an+1=
1
an
  ,an≠0
0, an=0
  其中n=1,2,3,….
(1)若a=
2
,求a2,a3 并猜想數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式(不需要證明);
(2)當(dāng)a>
1
4
時(shí),對任意的n∈N*,都有an=a,求符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A;
(3)若a是有理數(shù),設(shè)a=
p
q
 (p是整數(shù),q是正整數(shù),p,q互質(zhì)),對于大于q的任意正整數(shù)n,是否都有an=0成立,證明你的結(jié)論.
分析:(1)由題設(shè)知a1={
2
}=
2
-1,a2={
1
a1
}={
1
2
-1
}={
2
+1}={
2
}=
2
-1,從而可猜想數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)
1
2
<a<1,即1<
1
a
<2時(shí),可求得a=
-1+
5
2
,由此進(jìn)行分類討論,能求出符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A;
(3)成立.證明:由a是有理數(shù),可知對一切正整數(shù)n,an為0或正有理數(shù),可設(shè)an=
pn
qn
,由此利用分類討論思想能夠推導(dǎo)出數(shù)列{am}中am以及它之后的項(xiàng)均為0,所以對于大于q的自然數(shù)n,都有an=0.
解答:解:(1)∵a1={
2
}=
2
-1,
a2={
1
a1
}={
1
2
-1
}={
2
+1}={
2
}=
2
-1,
同理可求a3=
2
-1,
于是猜想:an=
2
-1.
(2)當(dāng)
1
2
<a<1,即1<
1
a
<2時(shí),a2={
1
a1
}={
1
a
}=
1
a
-1=a,
∴a2+a-1=0,
解得a=
-1+
5
2
或a=
-1-
5
2
(舍去);
當(dāng)
1
3
<a≤
1
2
,即2≤
1
a
<3時(shí),a2={
1
a1
}={
1
a
}=
1
a
-2=a,
∴a2+2a-1=0,
解得a=
-2+
8
2
=
2
-1或a=-
2
-1(舍去);
當(dāng)
1
4
<a≤
1
3
,即3≤
1
a
<4時(shí),a2={
1
a1
}={
1
a
}=
1
a
-3=a,
∴a2+3a-1=0,
解得a=
-3+
13
2
或a=
-3-
13
2
(舍去).
綜上所述,符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A={
-1+
5
2
2
-1,
-3+
13
2
}.
(3)由a是有理數(shù)可知,對一切正整數(shù)n,an為0或正有理數(shù).
設(shè)an=
pn
qn
(pn是非負(fù)整數(shù),qn是正整數(shù)且
pn
qn
既約).
①由a1={
p
q
}=
p1
q1
得:0≤p1≤q;
②若pn≠0,設(shè)qn=αpn+β(0≤β<pn,α,β為非負(fù)整數(shù)),
qn
pn
=α+
β
pn
,而由an=
pn
qn
,得
1
an
=
qn
pn
,
∴an+1={
1
an
}=
β
pn

∴pn+1=β,qn+1=pn
∴0≤pn+1<pn
若pn=0,則pn+1=0,
若a1、a2、a3、…、aq均不為0,則這q個正整數(shù)互不相同且都小于q,但小于q的正整數(shù)共有q-1個,矛盾.
故a1、a2、a3、…、aq中至少有一個為0,即存在m(1≤m≤q)使得am=0.
從而{am}中am及以后的項(xiàng)均為0,所以對大于q的任意正整數(shù)n,都有an=0成立,
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的遞推,考查集合的求法,考查an=0是否成立的判斷與證明.綜合性強(qiáng),計(jì)算量大,難度較高,對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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8
7
>=
1
7
.對于實(shí)數(shù)a,無窮數(shù)列{an}滿足如下條件:a1=<a>,an+1=
1
an
 an≠0
0        an=0
,其中n=1,2,3,….
(Ⅰ)若a=
2
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)當(dāng)a>
1
4
時(shí),對任意的n∈N+,都有an=a,求符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A;
(Ⅲ)若a是有理數(shù),設(shè)a=
p
q
 (p是整數(shù),q是正整數(shù),p,q互質(zhì)),對于大于q的任意正整數(shù)n,是否都有an=0成立,證明你的結(jié)論.

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||
1
an
 ||,an≠0
0,an=0
其中n=1,2,3,…
(1)若a=
2
,求數(shù)列{an};
(2)當(dāng)a
1
4
時(shí),對任意的n∈N*,都有an=a,求符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A.
(3)若a是有理數(shù),設(shè)a=
p
q
 (p 是整數(shù),q是正整數(shù),p、q互質(zhì)),問對于大于q的任意正整數(shù)n,是否都有an=0成立,并證明你的結(jié)論.

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1
an
>,(an≠0)
0,(an=0)
,當(dāng)a
1
2
時(shí),對任意的自然數(shù)n都有an=a,則實(shí)數(shù)a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

對于實(shí)數(shù)a,將滿足“0≤y<1且x-y為整數(shù)”的實(shí)數(shù)y稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分,用記號||x||表示,對于實(shí)數(shù)a,無窮數(shù)列{an}滿足如下條件:a1=|a,an+1=其中n=1,2,3,…
(1)若a=,求數(shù)列{an};
(2)當(dāng)a時(shí),對任意的n∈N*,都有an=a,求符合要求的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合A.
(3)若a是有理數(shù),設(shè)a= (p 是整數(shù),q是正整數(shù),p、q互質(zhì)),問對于大于q的任意正整數(shù)n,是否都有an=0成立,并證明你的結(jié)論.

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