Question

（本題滿分14分）
已知直線，圓.
（Ⅰ）證明：對任意，直線與圓恒有兩個公共點(diǎn).
（Ⅱ）過圓心作于點(diǎn)，當(dāng)變化時，求點(diǎn)的軌跡的方程.
（Ⅲ）直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，是否存在的值，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）軌跡的方程為.
（Ⅲ）存在，使得且.

本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
解：（Ⅰ）方法1：圓心的坐標(biāo)為，半徑為3…………………1分
圓心到直線距離………………2分
∴
∴即
∴直線與圓恒有兩個公共點(diǎn)……………………4分
方法2：聯(lián)立方程組…………………………1分
消去，得………………2分

∴直線與圓恒有兩個公共點(diǎn)………………………4分
方法3：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為.…1分
由可得：.
解得，所以直線過定點(diǎn).……………3分
因為在圓C內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個公共點(diǎn).………………4分
（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，由于°，
∴
∴點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓.………………7分
中點(diǎn)的坐標(biāo)為，.
∴所以軌跡的方程為.………………9分
（Ⅲ）假設(shè)存在的值，使得.
如圖所示，

有，……10分
又，，
其中為C到直線的距離.……………12分
所以，化簡得.解得.
所以存在，使得且.……………………14分