【題目】已知各項(xiàng)是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系,當(dāng)時(shí),由,得到,兩式相減化簡(jiǎn)得到,再利用等差數(shù)列的定義求解.
(2)由(1)知,,,將對(duì)任意恒成立,轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立, 記,利用作差法研究其單調(diào)性,求其最大值即可.
(1)當(dāng)時(shí),由, ①
則 ②
②-①得,
又各項(xiàng)是正數(shù),得,
當(dāng)時(shí),由①知,即,
解得或(舍),
所以,
即數(shù)列為等差數(shù)列,且首項(xiàng),
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)由(1)知,,所以,
由題意可得對(duì)一切恒成立,
記,則,,
所以,,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,且,,,
所以當(dāng)時(shí),取得最大值,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的頂點(diǎn)C在直線3x﹣y=0上,頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(4,2),(0,5).
(Ⅰ)求過(guò)點(diǎn)A且在x,y軸上的截距相等的直線方程;
(Ⅱ)若△ABC的面積為10,求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著國(guó)家二孩政策的全面放開(kāi),為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女,結(jié)果如下表.
非一線城市 | 一線城市 | 總計(jì) | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
總計(jì) | 58 | 42 | 100 |
附表:
由算得,,
參照附表,得到的正確結(jié)論是
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”
C. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”
D. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象(先在所給的表格中填上所需的數(shù)字,再畫(huà)圖);
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn),其焦點(diǎn)F在x軸上.
求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
斜率為1且與點(diǎn)F的距離為的直線與x軸交于點(diǎn)M,且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)大于1,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
是否存在過(guò)點(diǎn)M的直線l,使l與C交于P、Q兩點(diǎn),且若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面積的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且.
(Ⅰ)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),直線與軸相交于點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈,要求燈柱與地面垂直,燈桿與燈柱所在的平面與道路走向垂直,路燈采用錐形燈罩,射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示.已知,,路寬米.設(shè).
(1)求燈柱的高(用表示);
(2)此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長(zhǎng)度最小?最小值為多少?
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