Question

已知某幾何體的直觀圖（圖1）與它的三視圖（圖2），其中俯視圖為正三角形，其它兩個(gè)視圖是矩形．已知D是這個(gè)幾何體的棱A₁ C₁的中點(diǎn)．
（I）求出該幾何體的體積；
（II）求證：直線BC_l∥平面AB₁D：
（Ⅲ）求平面AB_lD與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)正三棱柱，底面是高為的正三角形，三棱柱的高為h=3．
（Ⅰ）由底面是高為的正三角形，可得底面正三角形的邊長(zhǎng)為2，因此S_底面△ABC==．
∴此正三棱柱的體積V=Sh=．
（Ⅱ）連接A₁B交AB₁于點(diǎn)O，連接OD，由矩形ABB₁A₁，可得A₁O=OB．
又∵D是這個(gè)幾何體的棱A₁ C₁的中點(diǎn)，∴OD是三角形A₁BC₁的中位線，∴OD∥BC₁．
∵BC₁?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅲ）如圖所示，取線段AC的中點(diǎn)E，連接ED，EB，分別以EB，EC，ED為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則E（0，0，0），D（0，0，3），A（0，-1，0），．
∴，，．
設(shè)平面AB₁D的法向量為，
則，即，令z=-1，解得y=3，x=0，∴．
∵ED⊥平面ABC，∴可取為平面ABC的法向量．
∴===-．
∴平面AB_lD與平面ABC所成銳二面角的余弦值為．
分析：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)正三棱柱，底面是高為的正三角形，三棱柱的高為h=3．
（Ⅰ）先求出底面正三角形的面積，再利用正三棱柱的體積計(jì)算公式即可得出；
（Ⅱ）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅲ）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量的夾角即可得到兩平面所成的銳二面角的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：由三視圖可知正確得出該幾何體是一個(gè)正三棱柱，熟練掌握正三角形的面積、正三棱柱的體積計(jì)算公式、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩平面的法向量的夾角求得兩平面所成的銳二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵．