已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示,其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形
(1)求證:BC∥平面C1B1N;
(2)求證:BN⊥平面C1B1N;
(3)設M為AB中點,在BC邊上找一點P,使MP∥平面CNB1,并求
BPPC
的值.
分析:(1)利用幾何體的三視圖,判斷側面BCC1B1是矩形,利用直線與平面平行的判定定理證明BC∥平面C1B1N;
(2)該幾何體的正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,BA,BC,BB1兩兩垂直. 以B為坐標原點,分別以BA,BC,BB1所在直線別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,證出
BN
BN1
=0,
BN
B1C1
=0后即可證明BN⊥平面C1B1N;
(3)設P(0,0,a)為BC上一點,由MP∥平面CNB1,得知
MP
n2
,利用向量數(shù)量積為0求出a的值,并求出
BP
PC
的值.
解答:解:(1)證明:由正視圖與側視圖可知側面BCC1B1是矩形,所以BC∥B1C1,又B1C1?平面C1B1N,BC?平面C1B1N,
所以BC∥平面C1B1N…(3分)
(2)證明:∵該幾何體的正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,
∴BA,BC,BB1兩兩垂直.                              …(5分)
以B為坐標原點,分別以BA,BC,BB1所在直線別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)
BN
BN1
=(4,4,0)•(-4,4,0)=-16+16=0
BN
B1C1
=(4,4,0)•(0,0,4)=0
∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1且NB1與B1C1相交于B1,
∴BN⊥平面C1B1N;   …(7分)
(3)∵M(2,0,0).設P(0,0,a)為BC上一點,則
MP
=(-2,0,a),
∵MP∥平面CNB1
MP
n2
MP
n2
=(-2,0,a)•(1,1,2)=-2+2a=0⇒a=1.
又PM?平面CNB1,∴MP∥平面CNB1,
∴當PB=1時,MP∥平面CNB1
BP
PC
=
1
3
…(12分)
點評:本題主要考查了直線與平面之間的位置關系及判斷,線面角求解,利用空間向量的方法,能夠降低思維難度,但要注意有關的運算要準確.
練習冊系列答案
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已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
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(1)求證:BN⊥平面C1B1N;
(2)θ 為直線C1N與平面CNB1所成的角,求sinθ 的值
(3)設M為AB中點,在BC邊上找一點P,使MP∥平面CNB1并求
BPPC
的值

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